Racine cubique de p irrationnelle - Corrigé

Énoncé
Montrer que, si \(p\) est un nombre premier, alors \(\sqrt[3]{p}\) est un nombre irrationnel.

Solution

Soit \(p \in \mathcal{P}\) .

Raisonnons par l'absurde, et supposons que \(\sqrt[3]{p}\) est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}^\ast\) premiers entre eux tels que \(\sqrt[3]{p}=\dfrac{a}{b}\) .

On a alors :  \(\begin{align*}p=\frac{a^3}{b^3} \ \ \Longleftrightarrow \ \ a^3=pb^3\end{align*}\)  donc \(p\) divise \(a^3\) . Or \(p\) est premier, donc \(p\) divise \(a\) .

Ainsi, il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a=pk\) , donc 
\(\begin{align*}a^3=pb^3 \ \ \Longleftrightarrow \ \ p^3k^3=pb^3 \ \ \Longleftrightarrow \ \ p^2k^3=b^3 \ \ \Longleftrightarrow \ \ p \times pk^3=b^3\end{align*}\)  et donc \(p\) divise \(b^3\) .

Or \(p\) est premier, donc \(p\) divise \(b\) .

Ainsi, \(p\) est un diviseur commun de \(a\) et \(b\) qui sont premiers entre eux, donc \(p=1\) : contradiction, car \(p \in \mathcal{P}\) . Par conséquent, \(\sqrt[3]{p}\) est irrationnel.